مقاييس الاحصاء الوصفى2

l المئينيات والإعشاريات Percentile and Decile



المئينيات هي النقط التي تقسم التوزيع التكراري إلى أجزاء مئوية ، والإعشاريات هي النقط التي تقسم التوزيع التكراري إلى أجزاء عشرية ، كما قسمته الأرباعيات إلى أربعة أقسام : كل قسم يحدد ربع التوزيع التكراري .



لا تكاد تختلف الخواص الإحصائية للمئينيات والإعشاريات عن خواص الأرباعيات إلا في أمور يسيرة تقوم في جوهرها على ككثرة عدد المئينيات والإعشاريات في عدد المئينيات والإعشاريات عن الأرباعيات ، ولهذه الكثرة أثرها في تغيير الصورة العامة النهائية للتقسيم المئيني أو الإعشاري .

D1 = 1rt Decile = 10th Percentile D2 = 2nd Decile = 20th Percentile Q1 = 1st Quartile = 95th Percentile D3 = 3rd Decile = 30th Percentile D4 = 4th Decile = 40th Percentile Q2 = D5 = 2nd Quartile = 5th Decile = Median = 50th Percentile D6 = 6th Decile = 60th Percentile D7 = 7th Decile = 70th Percentile Q3 = 3 rd Quartile = 75th Percentile D8 = 8th Decile = 80th Percentile D9 = 9th Decile = 90th Percentile

2- مقاييس النزعة المركزية Central Tendency



والتي تشمل الوسط الحسابي Mean (أو المتوسط) والوسيط Median والمنوال Mode)



l المتوسط Mean أو الوسط الحسابي



وهو أكثر المقاييس الإحصائية انتشارا وشيوعا بين الباحثين لسهولته وفائدته التي تضفي عليه أهمية كبرى في حياتنا اليومية فكثيرا ما يتحدث الأفراد عن متوسطات الأسعار في الشهر الأول أو العام الأول ومتوسطات الأعمار واختلافاتها من جيل إلى جيل ، ومن بلد إلى بلد آخر ومتوسطات الدخل الشهري والسنوي ، وغير ذلك من الأمور العملية التي تتصل من قريب بحياتنا اليومية .



والأفراد في حسابهم لهذه المتوسطات وفي حديثهم عنها وأيضا الباحثين لا يستعينون إلا بالمتوسط رغم وجود متوسطين آخرين وهما المتوسط الهندسي والتوافقي ، وتتلخص أهم الخواص الإحصائية للمتوسط الحسابي فيما يلي :



(1) مجموع الانحرافات : مجموع الانحرافات عن المتوسط الحسابي يساوي صفر ، والانحراف هو مدى بعد أو قرب أية درجة ما عن المتوسط (يحسب انحراف كل درجة عن المتوسط بطرح المتوسط منها) .



(2) الدرجات المتطرفة : يتأثر المتوسط بالدرجات القريبة منه تأثيرا قليلا ، ويتأثر بالدرجات البعيدة عنه تأثرا كبيرا .



(3) عدد الدرجات : يتأثر المتوسط بعدد الدرجات ، ويميل إلى الاستقرار كلما كان العدد كبيرا .



وتتلخص أهمية الفوائد العملية التطبيقية للمتوسط فيما يلي :



المعايير : وتعتمد المعايير المختلفة على المتوسط ، ولهذا فإن مقياس ذكاء الفرد بالنسبة لمتوسط ذكاء جيله وأقرانه ، ومدى انحرافه عن هذا المعيار زيادة ونقصان ، وينسب وزنه وطوله وحجمه إلى معايير أقرانه أيضا . ولهذا تصنع الملابس المختلفة لتناسب متوسطات أطوال وأحجام كل عمر من أعمار الإنسان ، وبما أن هذه المعايير تختلف في بعض نواحيها من بيئة لأخرى ، لذلك نرى أن لكل بيئة معاييرها الخاصة بها ، ومن هذا نرى خطأ نسبة الفرد إلى معايير عبر معايير بيئته .



المقارنة : تستخدم المتوسطات أحيانا لمقارنة مجموعة من الأفراد بمجموعة أخرى مثل مقارنة متوسط درجات فصل دراسي ما في اختبار ما بمتوسط درجات فصل دراسي آخر بالنسبة لنفس درجات الاختبار. هذا ولا تصح المقارنة إلا إذا كانت المجموعات متجانسة وتقبل خوصها مثل تلك المقارنات . ومن أمثلة المقارنات الخاطئة ما يقوم منها على مقارنة متوسط أعمار الناس في بيئة صناعية أغلبها من الشباب بمتوسط أعمار الناس في بيئة زراعية قد يكون أغلبها من الأطفال والشيوخ ، ولهذا تعتمد شركات التأمين على دراسة متوسطات الأعمار بالنسبة لكل مهنة ، وكل عمر ، حتى لا تخسر كثيرا .



l الوسيط Median



وهو النقطة التي تقع تماما في منتصف توزيع الدرجات بحيث يسبقها نصف عدد الدرجات ويتلوها النصف الآخر ، ويتميز الوسيط بالخواص الإحصائية التالية :



(1) يتوسط الوسيط توزيع الدرجات أكثر مما يتوسطها المتوسط ، ولذا فإن الوسيط في أي توزيع تكراري عادي يقع بين المتوسط والمنوال .

(2) يتأثر الوسيط بالدرجات الوسطى أكثر مما يتأثر بالدرجات المتطرفة في التوزيع التكراري ، وهو يصبح بهذه الصفة على نقيض المتوسط الذي يتأثر بالدرجات المتطرفة أكثر من تأثره بالدرجات الوسطى . ولذا يصلح الوسيط كمقياس للنزعة المركزية أكثر من المتوسط عندما تكون أطراف التوزيع متراكمة متجمعة غير مستوية كأي يلتوي التوزيع التكراري فتكثر فيه الأصفار والأعداد الصغيرة التي تتكوم عند طرفه الأول أو تكثر فيه الأعداد الكبيرة التي تتكوم عند طرفه الثاني .



والوسيط بهذا المعنى أكثر ثبوتا واستقرارا من المتوسط بالنسبة لأطراف. أي أن المتوسط أكثر حساسية من الوسيط بالنسبة لأطراف التوزيع .



يصلح الوسيط لنفس الميادين التي صلح فيها المتوسط ، أي في المعايير والمقارنة وخاصة عندما يكون التوزيع التكراري للدرجات ملتويا أي مرتفعا من أحد طرفيه ، والالتواء قد يكون موجبا أو سالبا : فإذا زاد تجمع تكرار الدرجات نحو الطرف الأول للتوزيع سمي الالتواء موجبا ، وإذا زاد تجمع تكرار الدرجات نحو الطرف الثاني للتوزيع سمي الالتواء سالبا ، وإذا اعتدل التوزيع التكراري سمي التوزيع معتدلا .



وهذا يعني أن الوسيط يصلح كمقياس للنزعة المركزية في الالتواء الموجب والسالب ، فيما يصلح المتوسط كمقياس للنزعة المركزية إذا كان التوزيع معتدلا .



إضافة إلى ذلك يصلح الوسيط في الحالات التي تهدف إلى قسمة التوزيع التكراري إلى قسمين متساويين من وسطه ، فيصبح بذلك التوزيع ثنائيا أي أعلى من الوسيط وأقل من الوسيط ، ولهذه الناحية أهميتها القصوى في حساب معاملات الارتباط التي تعتمد على مثل هذا التقسيم الثنائي مثل معاملات الارتباط الرباعية .



l المنوال Mode



يدل المنوال على أكثر الدرجات شيوعا ، أي هي النقطة التي تدل على أكثر درجات التوزيع تكرارا .







الخواص الإحصائية للمنوال :



لا يتأثر المنوال بالدرجات المتطرفة ولا بالدرجات الوسطى في التوزيع التكراري ، وإنما يتأثر بالتكرار نفسه عندما يبلغ نهايته العظمى بالنسبة لدرجة ما أو فئة ما من الدرجات .



يتأثر المنوال بعدد فئات التوزيع وبمدى الفئة ، فكلما قل هذا العدد زاد تبعا لذلك مدى الفئة وارتفع تكرارها ، وكلما كثر هذا العدد بالنسبة لنفس التوزيع قل تبعا لذلك مدى الفئة وانخفض تكرارها . وهكذا نرى أن المنوال يخضع في جوهرة لاختيار عدد الفئات ومداها .



يصلح المنوال لنفس الميادين التي صلح لها الوسيط والمتوسط أي في المعايير والمقارنة ، وللمنوال أهميته في النواحي التربوية والنفسية وخاصة عندما يراد معرفة العمر المنوالي لمراحل التعليم المختلفة . فمثلا العمر المنوالي لتلاميذ الصف الأول الابتدائي هو [6 ] سنوات ونسبة الذكاء المنوالية تنحصر بين [ 99 , 101 ] .



يصلح المنوال - على أنه يدل على الدرجة الأكثر شيوعا - لمعالجة المشاكل التي تهدف إلى معرفة تركيز الظاهرة وموقعها ، وخاصة في النواحي الصناعية والتجارية ، فمثلا يعتمد تاجر الملابس والأحذية على رواج بضاعته على المقاييس الأكثر شيوعا أي على المقاييس المنوالية .


العلاقة بين مقاييس النزعة المركزية





l تنطبق جميع مقاييس النزعة المركزية على بعضها وتتساوى جميعها في التوزيع التكراري الاعتدالي .



l عندما يكون التوزيع التكراري ملتويا التواء موجبا ، يمتد الطرف الطويل للمنحنى إلى الجهة اليمنى ويصبح ترتيب مقاييس النزعة المركزية كما يلي : [المتوسط ، ثم الوسيط ، ثم المنوال] .



l عندما يكون التوزيع التكراري ملتويا التواء سالبا يعتمد الطرف الطويل إلى الجهة اليسرى ويصبح ترتيب مقاييس النزعة المركزية كما يلي : [المنوال ثم الوسيط ثم المتوسط ] .





تدلنا مقاييس النزعة المركزية على القيم المتوسطة للبيانات العددية أو على تجمعها ، وهذه المقاييس لا تكفي وحدها لمعرفة الصفات الإحصائية اللازمة لوصف الظاهرة فقد تكون الفروق بين الدرجات قليلة أو كبيرة رغم تساوي قيمة المتوسطات في كلتا الحالتين .



لهذا يعتمد الوصف الإحصائي لهذه البيانات العددية على قياس تشتت الدرجات واختلافها وتباينها ، كما اعتمد قبل ذلك على قياس متوسطاتها في نزعتها المركزية .



وتتلخص أهمية مقاييس التشتت في الانحراف المعياري ، والتباين والمدى والخطأ المعياري للمتوسط ، وكذا قيم النسب المئوية الممثلة في الإرباعيات ، والمئينيات ، والإعشاريات .



l الانحراف المعياري : Std.deviation




ويعتبر الانحراف المعياري أهم مقاييس التشتت ، ويقوم في جوهره على حساب انحرافات الدرجات عن متوسطها كما تدل تسميته عليه ، وهو يساوي الجذر التربيعي لمتوسط الانحرافات . ومن أهم الخواص الإحصائية للانحراف المعياري ما يلي :



(1) اعتماد أغلب المقاييس الإحصائية عليه : يعتبر الانحراف المعياري أدق وأهم مقاييس التشتت لارتباطه الوثيق بأغلب المقاييس الإحصائية المختلفة كمعاملات الالتواء والتفرطح والارتباط بالدرجات المعيارية والدلالة الإحصائية لأغلب هذه المقاييس أو بمعنى آخر مدى احتمال الثقة بالقيمة العددية لها .



(2) القيمة الموجبة والسالبة : وحيث أن القيمة العددية للانحراف المعياري ترتبط بحساب الجذر التربيعي لمتوسط مربعات الانحرافات المعيارية عن المتوسط ، لذلك تصبح القيمة الجبرية للانحراف المعياري سالبة أو موجبة . والمعنى الإحصائي لتلك القيم الموجبة والسالبة ، أنها تقيس التشتت بالانحرافات التي تمتد على كلتا ناحيتي المتوسط .












(3) علاقة الانحراف المعياري بالتكرار : يقسم الانحراف المعياري تسلسل البيانات العددية إلى أقسام متساوية أي أنه يقسم قاعدة منحنى التوزيع التكراري إلى أقسام متساوية ، وبما أن التوزيع التكراري يرتفع عادة في الوسط وينخفض في الأطراف إلا إذا كان ملتويا التواء شديدا . أي أن التكرار يزيد في الوسط ، ويقل في الأطراف ، إذن فالتقسيمات المتساوية لقاعدة ذلك التوزيع تؤدي إلى تقسيمات غير متساوية لتكرار الدرجات .



وبذلك يصلح الانحراف المعياري على نقيض المئينيات والإعشاريات الإرباعيات التي تقسم قاعدة التوزيع التكراري إلى أقسام غير متساوية تضيق حول الإعشاري الخامس أو المئيني الخمسين أو الإرباعي الثاني وتتسع في الأطراف . وهى في ضيقها واتساعها تحدد دائما تكرارات متساوية .



(4) الدرجات المتطرفة : الانحراف المعياري أكثر مقاييس التشتت تأثرا بالدرجات المتطرفة في التوزيع لاعتماده المباشر على مربعات فروق هذه الدرجات عن المتوسط ، وهو لا يتأثر تأثرا كبيرا بالدرجات القريبة عن المتوسط وذلك لأن القيمة العددية لمربعات فروق تلك الدرجات عن المتوسط صغيرة لكنه يتأثر بالمتوسط نفسه لأنه الإطار الذي ينسب إليه فروقه ومربعاتها .



(5) الإضافة والحذف : لا يتأثر الانحراف المعياري بإضافة عدد ما ثابت لكل درجة من درجات التوزيع التكراري ، أو بحذف قيمة عددية ثابتة من كل درجة من درجات ذلك التوزيع . والسبب الذي من أجله يتحرر الانحراف المعياري من أثر تلك الإضافة أن الحذف يبدو واضحا عندما ندرك أن انحراف أي عدد عن أي عدد آخر لا يتأثر بالإضافة أو الحذف . أي أن الانحراف المعياري لا يتأثر بالإضافة أو الحذف .



أي أن القيمة العددية للانحراف المعياري لم تتأثر بإضافة أو حذف عدد ثابت من جميع درجات التوزيع ، ولهذه الخاصية أهميتها الكبرى في فهمنا لمعنى التشتت الذي يعتمد في جوهره على الفروق القائمة بين الدرجات ومتوسطها ، ولا يتأثر بالقيمة العددية المشتركة بين جميع تلك الدرجات . لذا يصبح الانحراف المعياري من أهم مقاييس الفروق الفردية بين الأفراد ، ولهذا يعتمد عليه التحليل الإحصائي للاختبارات النفسية .



(6) الانحراف المعياري والمدى الكلي : معروف إحصائيا أن المدى الكلي للدرجات يساوي [6] ستة أمثال الانحراف المعياري تقريبا ، عندما يقترب شكل التوزيع التكراري من المنحنى الاعتدالي .



l التباين Variance




التباين هو متوسط مربعات الانحرافات عن المتوسط أي أنه مربع الانحراف المعياري . والتباين بهذا المعنى يعتبر من أهم مقاييس التشتت لاعتماده المباشر على الانحراف المعياري ، وهو من ناحية أخرى أحد المتوسطات لأنه في جوهره متوسط لمربعات الانحرافات . ولذلك فهو يصلح لقياس الفروق الجماعية بين الأنواع المختلفة للتوزيعات التكرارية ، كحساب الفروق بين مستويات تحصيل الطلبة والطالبات بالنسبة لأي مادة من المواد الدراسية ، أو بالنسبة لدرجات أي قدرة من القدرات العقلية ، ويسمى هذا النوع من التحليل بتحليل التباين .



l المدى Range




يساوي المدى الفرق بين أكبر درجة وأصغر درجة مضافا إليه الواحد الصحيح ، ولهذا المدى أهميته في مقارنة التوزيعات المختلفة لمعرفة مدى تشتت الدرجات بشرط أن يكون عدد الدرجات في هذه التوزيعات متساويا . وعندما تختلف عدد الدرجات من توزيع لآخر تبطل فائدة هذا المدى في مقارنة تشتت تلك التوزيعات . هذا ولا يصلح المدى أساسا علميا للمقارنة لأنه يعتمد فقط على درجتين من درجات التوزيع ، أكبر قيمة وأصغر قيمة .



l الخطأ المعياري للمتوسط Std. Error of Mean




وهو عبارة عن قيمة الانحراف المعياري مقسوما على الجذر التربيعي لعدد أفراد العينة وبالتالي فإن الخطأ المعياري للمتوسط يساوي الانحراف المعياري عندما يكون حجم العينة مساويا للواحد .










إن التمثيل البياني للبيانات يساعد الباحث كثيرا على تنظيم وتلخيص البيانات ، كما يساعد على توضيح أشكال التوزيعات التكرارية ، ومقارنة توزيع تكراريا بغيرة من التوزيعات ، فالشكل البياني هو تمثيل هندسي لمجموعة من البيانات ، ولا يقتصر استخدام الأشكال الهندسية على هذا التمثيل وحده ، بل يسهم في تكوين نماذج بعدية تساعد على التفكير في المشكلات الإحصائية ، إذا يمكن اختزال كثير من المشكلات إلى أشكال توضيحية مما يجعل حلها أو فهما أكثر يسرا .



إن الرسوم البيانية التي سوف تتعامل معها في هذا الجزء ، منسوبة إلى محورين متعامدين أحدهما أفقي والآخر رأسي ، ويسميان محوري الإحداثيات. فالمحور الأفقي يمثل ميزان الدرجات والمحور الرأسي يمثل التكرارات أو التكرارات النسبية .



ومن الأفكار الهامة التي ترتبط بالتمثيل البياني للتوزيعات التكرارية هي أن المساحة تحت المنحنى أو جزء منه تمثل تكرار الدرجات المناظرة ، وغالبا ما تحدد المساحة الكلية تحت المنحنى بالواحد الصحيح ، وبذلك تصبح المساحة الواقعة فوق جزء من ميزان الدرجات (المحور الأفقي) مساوية للتكرار النسبي لهذه الدرجات ، وهذه العلاقة بين التكرار النسبي والمساحة تعد أساسية في استخدام الإحصاء في البحوث .



l المدرج التكراري Histogram




يمكن تمثيل مجموعة من الدرجات أو الملاحظات بيانيا برسم على شكل بياني على هيئة مستطيلات غير متلاصقة إذا كان ميزان القياس اسمي أو رتبي وعدد هذه المستطيلات يساوي عدد فئات التوزيع ، وقاعدة كل منهما هي الجزء الذي يمثل الفئة وارتفاعه تمثل التكرار في هذه الفئة ، والمساحة الكلية للمستطيلات تتناسب مع التكرار الكلي للتوزيع .



l المنحنى التكراري Frequency Curve




هو نفس المضلع التكراري بعد تهذيبه بحيث يبدو على شكل منحنى ممهد Smooth Curve وبالطبع تختلف التوزيعات التكرارية الممثلة في صورة جداول أو أشكال بيانية في عدد من الخصائص كالنزعة المركزية والتشتت ، وكذا الالتواء والتفرطح ، والمعروف بشكل توزيع البيانات .



5- شكل توزيع البيانات : Distribution



l المنحنى الاعتدالي Normal Curve




المنحنى الاعتدالي هو منحنى نظري يمكن تمثيله بمعادلة رياضية يمكن البرهنة عليها ، ولكن لا يمكن أن يتحقق تماما باستخدام البيانات التجريبية ، ويرجع الفضل في اكتشاف الأساس النظري وبحث الخصائص الرياضية لهذا المنحنى إلى لابلاس Laplace ، وديموافر Demoiver وجاوس Gausis ، والمنحنى الاعتدالي يشبه الجرس ولذلك يسمى أحيانا بالمنحنى الجرسي أو منحنى الصدفة أو منحنى الخطأ .



وكثيرا ما تفترض البحوث النفسية والتربوية أن بعض السمات تتوزع توزيعا اعتدالنا على الرغم من أن البيانات التجريبية الخاصة بهذه السمات – كما ذكرنا – لا يتحمل أن تتفق تماما مع شكل هذا التوزيع . فكثيرا من التوزيعات التكرارية تقترب إلى حد ما عن شكل التوزيع الاعتدالي ، ولذلك نفترض أنها تأخذ هذا الشكل كما نفترض أنه قد حدث خطأ في دراسة السمات موضع البحث إذا اختلف شكل التوزيع الخاص بهذه السمات عن شكل التوزيع الاعتدالي .



l الالتواء Skews




الالتواء توزيع ما يشير إلى تماثل أو عدم تماثل التوزيع فإذا كان التوزيع غير متماثل بحيث تتراكم معظم التكرارات حول الطرف السفلي للتوزيع وتقل التكرارات كلما اتجهنا نحو الطرف العلوي له ، فإنه يقال في هذه الحالة أن التوزيع ملتو التواء موجبا Positively Skewed . أما إذا تراكمت معظم التكرارات حول الطرف العلوي للتوزيع بينما تقل التكرارات كلما اتجهنا نحو الطرف السفلي ، فإنه يقال أن التوزيع ملتو التواء سالبا Negatively Skewed







أي أنه عندما لا ينطبق المتوسط على المنوال والوسيط يعد التوزيع ملتويا ويحسب معامل الالتواء (بطريقة برسون) والتي تعتمد على المتوسط والمنوال والانحراف المعياري بالمعادلة التالية :

المتوسط – المنوال معامل الالتواء = -------------- الانحراف المعياري

و بما أن المنوال = ثلاثة أمثال الوسيط – ضعف المتوسط . فعليه يكون :

3(المتوسط – الوسيط) معامل الالتواء = ----------------- الانحراف المعياري

وكلما صغر قيمة معامل الالتواء واقترب من الصفر ، يدل ذلك على أن التوزيع متماثل تقريبا . هذا ويمكن حساب معامل الالتواء من العلاقة التالية :

مكعب مجموع الانحرافات معامل الالتواء = --------------------------- ( ن - 1 ) × مربع الانحراف المعياري

l التفرطح Kurtosis




التفرطح توزيع ما يشير إلى الاستواء أو التدبب في التوزيع بالنسبة لغيره من التوزيعات ، فخاصية التفرطح هي خاصية نسبية ، فمثلا يمكن أن نجد توزيعين يتفقان في النزعة المركزية ، ولكنهما يختلفان في التفرطح ، هذا ويمكن حساب معامل التفرطح بالعلاقة التالية :

ن × (مجموع الانحرافات)4 معامل التفرطح = ------------------------ -3 (ن-1)2 × (الانحراف المعياري)4

الاستكشاف Explore



يرجع الفضل في اكتشاف الأساليب الكشفية في تحليل البيانات Exploratory Data Analysis (EDA) وتسميها إلى جون توكي Tukey وهى هامة لأنها تساعد الباحث على كشف جوانب معينة في البيانات ربما لم يكن يتوقعها ، فكم من نتائج غير متوقعة توصل إليها الباحثون نتيجة للفحص الدقيق المستنير لمجموعات البيانات التي حصلوا عليها ، إنها تساعد الباحث على اختيار المناسب من الأساليب الإحصائية الاستدلالية المقدمة بناء على نتائج التحليل الوصفي الكشفي .





جداول التصنيف Crosstabs





والتي عن طريقها يمكن تصنيف المتغيرات غير المتصلة بالنسبة لبعضها .

شكرا يااحمد على تعبك معانا